§24.Максвелл теңдеулері

 

          XIX ғасырдың 60-ы жылдары ағылшын ғалымы Максвелл электр және магнетизмнен тәжірибе жүзінде ашылған заңдылықтарды біріктіре келе, электромагниттік толқынның жалпы теориясын берді. Бұл теорияда электростатиканың негізгі теңдеуі, электр және магнит өрістері үшін Остроградский-Гаусс теоремасы, магнит өрісі үшін толық ток заңы, электромагниттік индукция заңы және тағы басқа заңдар қарастырылған.

          Максвелл теориясында электродинамиканың негізгі есебі шешілді, яғни берілген зарядтар мен токтар жүйесінің тудыратын электромагниттік өрісінің сипаттамалары анықталады. Максвелл теориясы макроскопиялық теория болып табылады, яғни бұл теорияда заттардың немесе орталардың ішкі құрылыстары қарастырылмайды.

Максвелл теориясы негізінен 4 теңдеуден тұрады және әр теңдеу 2 түрде: интегралдық және  дифференциалдық түрде беріледі.

Максвелдің дифференциалдық теңдеулері  интегралдық теңдеулерінен векторлық анализдің екі теоремалары: Гаусс теоремасы және Стокс теоремаларының көмегімен алынады.

Гаусс теоремасы

мұндағы:

мұндағы: .

Стокс теоремасы

мұндағы:      немесе

24.1.Максвелдің I-теңдеуі

Бұл жағдайда Максвелл электромагниттік индукция заңын қарастырды. Уақыт өтуімен өзгеретін айнымалы магнит өрісі өзін қоршаған кеңістікте құйынды электр өрісін тудырады.

Тұйық бет арқылы  өтетін кернеулік векторының циркуляциясы осы бетпен шектелген беттегі магнит өрісінің индукция векторының теріс таңбамен алынған өзгеру жылдамдығына тең болады.

           

Бұл өрнек Максвелдің интеграл түріндегі I- теңдеуі деп аталады.

          Құйынды электр өрісі потенциалды емес өріс болып табылады, яғни оның тұйық траекториядағы жұмысы нольден өзгеше болады.

          Стокс теоремасынан  екенін ескерсек

Осыдан  Максвелдің дифференциал түріндегі    I-теңдеуін аламыз

Максвелдің дифференциал түріндегі   I-теңдеуі скаляр түрде

 

24.2.Максвелдің II-теңдеуі

Құйынды электр өрісінің «магниттік әсерін» сипаттау үшін Максвелл ығысу тогын енгізді.

  

Ығысу тогының тығыздығы электр өрісінің индукция (ығысу) векторының өзгеру жылдамдығына тең болады.

Электр өрісінің индукция  векторының   формуласымен анықталатынын ескерсек, ығысу тогы       

 

мұндағы:   - вакуумдегі ығысу тогының тығыздығы,

                  - поляризация ығысу тогының тығыздығы.

Соныменен кеңістіктегі магнит өрісін өткізгіштік және ығысу токтары тудырады. Максвелдің интеграл түріндегі II-теңдеуі магнит өрісі үшін толық ток заңы болып табылады.         

Стокс теоремасынан   екенін ескерсек 

Осыдан Максвелдің дифференциал түріндегі    II-теңдеуін аламыз .

Максвелдің дифференциал түріндегі II- теңдеуінің  скаляр түрі

24.3.Максвелдің III-теңдеуі

  Максвелдің интеграл түріндегі III-теңдеуі заттардағы электр өрісі үшін Остроградский-Гаусс теоремасы болап табылады.

Максвелдің дифференциал түріндегі III-теңдеуі келесі түрде жазылады:

24.4.Максвелдің IV-теңдеуі

Максвелдің интеграл түріндегі IV-теңдеуі магнит өрісі үшін Остроградский-Гаусс теоремасы болап табылады.

Максвеллдің дифференциал түріндегі IV-теңдеуі

Бірін-бірі тудыратын және бір-бірімен байланысқан айнымалы электр және магнит өрістерін электромагниттік өріс деп атайды.

Кеңістікте тарайтын айнымалы электр және магнит өрістерін электромагниттік толқын деп атайды.

Электромагниттік толқынның толқындық теңдеуі келесі түрде жазылады:

Электромагниттік толқынның кез-келген ортада таралу жылдамдығы

,

мұндағы: - ортаның диэлектриктік өтімділігі, -ортаның магниттік өтімділігі.

Вакуумдегі электромагниттік толқынның таралу жылдамдығы, яғни вакуумдегі жарық жылдамдығы

.

Кез келген ортадағы электромагниттік толқынның таралу жылдамдығы

 

Бақылау сұрақтары

1.  Максвелл теориясы неше теңдеуден тұрады?

2.  Максвелдің I-теңдеуінде электромагнетизмнің қандай заңы

     қарастырылады?

3.  Максвелдің ІI, ІІ, ІV-теңдеулерінде электромагнетизмнің қандай заңдар

     қарастырылады?

4.  Максвелдің дифференциалдық теңдеулері  интегралдық теңдеулерінен

    векторлық анализдің қандай теоремаларының көмегімен алынады?