Контурдағы еркiн электр тербелiсiнiң периоды. Томсон формуласы

Опубликовано Опубликовано в рубрике Электр және магнетизм

Контурда туындылайтын еркiн электр тербелiсiнiң периодын табалық. Ол үшiн, алдымен бұл контурдағы тербелiс кезiнде өзгеретiн физикалық шамалардың бiрiнiң ( заряд, ток т.с.с.) уақыттан тәуелдiлiгiн табу қажет. Бұдан әрi осы тәуелдiлiктен тербелiс периодын анықтау аса қиынға түспейдi. Мұндай есептеулер үшiн өзгеретiн шама ретiнде конденсатор астарларындағы электр зарядының мәнiн алу ыңғайлы. Оның кез-келген уақыт мезетiндегi мәнiн осы тiзбек үшiн жазылған Ом заңынан, не болмаса конденсатор мен индуктивтi катушканың толық энергиясының сақталу заңынан оңай табуға болады. Ендi сақталу заңын пайдалана отырып бұл мәселенi қалай шешуге болатынын көрсетелiк.

Шындығында, (2.5) өрнегiн уақыт бойынша туындыласақ

     немесе

(2.6)

 

Бұдан әрi, ток күшiнiң анықтамасының I=q′ өрнегiн және осы өрнектен туындылайтын I=q″ теңдiгiн ескере отырып, (2.6)-дан мына теңдеудi аламыз

Егер бұл жердегi 1/LC – нi ω02 деп белгiлесек

q” + ω02q = 0     немесе

(2.7)

 

Бұл электр зарядының мәнiне қатысты екiншi реттi сызықтық дифференциалдық теңдеу. Математикалық тұрғыдан тура осындай теңдеулердi механикадағы тербелiстердi қарастырған кезде де алған болатынбыз. Дифференциалдық теңдеулердi шешу әдiстерi мектеп бағдарламасына кiрмейдi. Сондықтан, бұл жерде оны шешудiң жолдарын толық қарастырып жатпай-ақ бiрден шешiмдi келтiремiз. Ол мынадай

q = q mcos (ω0t + φ) (2.8)

 

Ал бұл өрнектiң шынында да жоғарыдағы (2.7) теңдеуiнiң шешiмi екенiне, оны тiкелей осы теңдеуге алып барып қоя отырып көз жеткiзуге болады.

Алған (2.8) шешiмдi (2.3) өрнегiмен салыстыра отырып, бұл жердегi ω0-дiң циклдiк жиiлiк екенiн анықтаймыз. Онда бұл жиiлiкке сәйкес келетiн тербелiстiң периоды

(2.9)

 

Бұл өрнек Томсон формуласы деп аталады. Бұл жерден тербелмелi контурдың еркiн тербелiс периоды осы контурдың параметрлерi арқылы анықталатыны көрiнiп тұр.